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然而，當(dāng)材料的尺寸減小到與其微結(jié)構(gòu)大小相同的數(shù)量級(jí)時(shí)，傳統(tǒng)模型就不再適用，因?yàn)槲⒂^結(jié)構(gòu)的影響變得更加顯著。應(yīng)變梯度模型引入了一個(gè)額外的應(yīng)變梯度項(xiàng)來描述材料的非局部行為。這個(gè)梯度項(xiàng)捕捉了在微觀尺度上材料應(yīng)變的變化率。相對(duì)于傳統(tǒng)塑性模型，應(yīng)變梯度塑性模型的主要優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在 更準(zhǔn)確地描述納米尺度下的材料行為。在納米尺度下，材料的微觀結(jié)構(gòu)對(duì)其力學(xué)行為有著重要的影響。

修正對(duì)應(yīng)的參數(shù)為：其中彈性參數(shù)對(duì)應(yīng)Cu的參數(shù)有限元模型為：研究了平面應(yīng)變條件下簡(jiǎn)單拉伸不同區(qū)域的應(yīng)力應(yīng)變分布特征CPFE結(jié)果揭示了GNG-Cu橫截面中的梯度應(yīng)力和梯度塑性應(yīng)變。

此外，不同類型的實(shí)驗(yàn)，如微扭轉(zhuǎn)、微彎曲、顆粒增強(qiáng)金屬基復(fù)合材料的變形和顯微壓痕硬度測(cè)試，都清楚地顯示了流動(dòng)應(yīng)力的長(zhǎng)度尺度依賴性在這些實(shí)驗(yàn)中，通常會(huì)發(fā)生不均勻的塑性變形，這可能會(huì)導(dǎo)致材料點(diǎn)附近的方向和應(yīng)變梯度。這些梯度可能與幾何必要位錯(cuò)（GND）相關(guān)（Ashby，1970）。在現(xiàn)象學(xué)模型中，如何將GND整合到本構(gòu)模型中并不簡(jiǎn)單。

該模型的核心思想是：材料變形不僅包含彈性變形和晶體塑性滑移，還需要顯式考慮熱膨脹變形。因此，總變形梯度被分解為彈性/剛體轉(zhuǎn)動(dòng)部分、熱變形部分和塑性變形部分。在本構(gòu)層面，作者保留了 FCC 晶體的 12 個(gè) {111}<110> 滑移系，并采用冪律型滑移率方程描述率相關(guān)塑性流動(dòng)。

溫度和應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系：溫度變化引起材料的體積膨脹或收縮，淬火中工件各部位由于加熱或冷卻不均產(chǎn)生溫度梯度，熱膨脹不均導(dǎo)致了熱應(yīng)力；材料在應(yīng)力作用下發(fā)生塑性變形，應(yīng)力做功對(duì)溫度場(chǎng)也有影響，不過在熱處理過程中變形塑性功產(chǎn)生的熱量很少，可以忽略不計(jì)。應(yīng)力應(yīng)變和相變的關(guān)系：淬火過程的內(nèi)應(yīng)力帶來相變塑性變形，引起工件內(nèi)部應(yīng)力和應(yīng)變；應(yīng)力對(duì)相變動(dòng)力學(xué)也有影響。

此外，不同類型的實(shí)驗(yàn)，如微扭轉(zhuǎn)、微彎曲、顆粒增強(qiáng)金屬基復(fù)合材料的變形和顯微壓痕硬度測(cè)試，都清楚地顯示了流動(dòng)應(yīng)力的長(zhǎng)度尺度依賴性在這些實(shí)驗(yàn)中，通常會(huì)發(fā)生不均勻的塑性變形，這可能會(huì)導(dǎo)致材料點(diǎn)附近的方向和應(yīng)變梯度。這些梯度可能與幾何必要位錯(cuò)（GND）相關(guān)（Ashby，1970）。在現(xiàn)象學(xué)模型中，如何將GND整合到本構(gòu)模型中并不簡(jiǎn)單。

總位錯(cuò)密度分為兩類（幾何必須位錯(cuò)密度和統(tǒng)計(jì)位錯(cuò)密度）：應(yīng)變梯度與幾何必須位錯(cuò)密度之間存在線性關(guān)系，其斜率為burger矢量的大小。因此作者以應(yīng)變梯度為橋梁，搭建了材料微觀位錯(cuò)密度演化與材料屈服面演化的關(guān)系，建立了考慮尺寸效應(yīng)的剪切修正GTN模型。作者將該理論編寫了umat子程序。

wx_fmt=png"></p><p>CPFE結(jié)果揭示了GNG-Cu橫截面中的梯度應(yīng)力和梯度塑性應(yīng)變。這些空間梯度是由于在具有梯度尺寸的晶粒中逐漸達(dá)到屈服點(diǎn)以及相應(yīng)的梯度滑動(dòng)阻力而產(chǎn)生的。</p><p>CPFE結(jié)果還揭示了梯度應(yīng)力和梯度塑性應(yīng)變的非均勻空間分布，這是隨機(jī)晶粒取向和梯度晶粒尺寸共同作用的結(jié)果。

文章doi：10.1016/j.mechmat.2021.103830推薦理由：文章采用晶體塑性有限元模擬，揭示了NiTi形狀記憶合金（SMA）在400℃罐裝壓縮下的塑性變形機(jī)制，將統(tǒng)計(jì)存儲(chǔ)位錯(cuò)（SSD）和幾何必要位錯(cuò)（GND）密度納入應(yīng)變梯度的晶體塑性本構(gòu)模型。在CPFE模擬的基礎(chǔ)上，獲得了織構(gòu)演化、應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)、SSD和GND密度。

，因此被廣泛用于已在模擬金屬和金屬基材料中的介觀尺度下大變形和應(yīng)變局部化，然而其高度非線性的積分過程，相較于傳統(tǒng)模型，其數(shù)值成本往往很高，因此基于復(fù)雜的晶體塑性模型更能體現(xiàn)顯式于隱式積分的差異，這里作者的討論顯式程序和隱式程序使用huang的亞彈性框架進(jìn)行由于隱式程序在大量的博士論文可以找到詳細(xì)內(nèi)容，這里不做贅述，這里主要提到文獻(xiàn)關(guān)于顯式的一些內(nèi)容。

（2）使用相同的材料屬性和邊界條件以及相同的流動(dòng)，硬化方程，模擬顯示了不同的取向和應(yīng)變分布的組合。（3）即使分辨率很低，CPFFT方法依然可以給出確定的應(yīng)變梯度分布情況，但對(duì)于CPFEM方法，應(yīng)變梯度隨著分辨率上升隨之增加，即表現(xiàn)出強(qiáng)烈的網(wǎng)格依賴性，這意味同樣的預(yù)測(cè)模型CPFFT可以使用更低的模型成本得到相似的結(jié)果。

由于在考慮大應(yīng)變時(shí)，與應(yīng)變梯度顯著改變應(yīng)力場(chǎng)的裂紋尖端的距離可能高出一個(gè)數(shù)量級(jí)。作者數(shù)值模型的理論源于huang在2004年提出的低階應(yīng)變梯度塑性框架，但不涉及高階應(yīng)力。因此，塑性應(yīng)變梯度僅出現(xiàn)在本構(gòu)模型中，平衡方程和邊界條件與傳統(tǒng)的連續(xù)體理論相同。

若對(duì)一給定化學(xué)結(jié)構(gòu)及方程式的熱塑性材料而言，其黏度特性則和溫度、剪應(yīng)變速率及壓力有較大關(guān)系。為了解熱塑性材料的黏度特性，我們需要另外定義剪應(yīng)力、剪應(yīng)變速率及黏度之關(guān)系。 剪切力的基本定義 顯示簡(jiǎn)易之剪切流動(dòng) (Simple shear flow) 的定義，其中包括剪應(yīng)力、剪應(yīng)變速率及黏度之關(guān)系。其中移動(dòng)平板提供流體于兩平行板間流動(dòng)之動(dòng)能。當(dāng)流動(dòng)趨于穩(wěn)態(tài)時(shí)，其速度梯度是線性的。

不同時(shí)刻材料的應(yīng)力分布 材料的等效塑性應(yīng)變的分布 根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變分布情況可以清晰的看出，梯度晶粒結(jié)構(gòu)應(yīng)力應(yīng)變分布更加均勻，不容易集中于某些區(qū)域，從而避免更早的發(fā)生頸縮失效，提高材料的延性。

各向同性硬化von Mises率無關(guān)彈塑性本構(gòu)理論以及umat源代碼1 本構(gòu)理論1.1 率形式對(duì)于各向同性線彈性材料，其本構(gòu)方程為：式中假設(shè)了應(yīng)變張量可以分解為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分：因此塑性本構(gòu)的關(guān)鍵在于計(jì)算塑性應(yīng)變的演化。

（一）taylor均勻化方案 Taylor均勻化模型在abaqus實(shí)現(xiàn)時(shí)，通常一個(gè)積分點(diǎn)包含多個(gè)晶粒，其中積分點(diǎn)響應(yīng)由晶粒響應(yīng)的體積平均響應(yīng)給出，積分內(nèi)的各個(gè)晶粒的變形梯度均等于宏觀變形梯度。通過變形梯度計(jì)算各個(gè)晶粒的應(yīng)力響應(yīng)，晶粒彼此之間不存在應(yīng)力平衡關(guān)系，但應(yīng)變協(xié)調(diào)，計(jì)算得到各個(gè)晶粒的得到柯西應(yīng)力，之后得到體平均柯西應(yīng)力，更新積分點(diǎn)響應(yīng)。

推薦這個(gè)文章主要有三點(diǎn)原因：第一，在研究超薄板、微成形和微沖裁問題時(shí)，不能再機(jī)械套用傳統(tǒng)GTN模型，必須重視剪切主導(dǎo)損傷機(jī)制。第二，尺寸效應(yīng)不是附加修正項(xiàng)，而是決定局部應(yīng)力、損傷演化和裂紋萌生位置的重要因素。第三，從建模角度看，將剪切損傷模型與應(yīng)變梯度塑性耦合，是理解微尺度金屬斷裂行為的一條很有前景的路線。

HCP晶格材料的變形模擬-單晶體塑性部分考慮滑移和孿晶的變形梯度如圖5.1所示，總的塑性變形梯度來自等式右側(cè)的兩項(xiàng)：分別代表由滑移和孿晶對(duì)塑性變形梯度的貢獻(xiàn)。與考慮滑移和孿晶的變形相比，滑移為主的塑性變形梯度忽略了孿晶對(duì)塑性變形梯度的貢獻(xiàn)，如圖5.2所示。

有限應(yīng)變運(yùn)動(dòng)學(xué) (Finite Strain Kinematics) 在有限變形框架下，總變形梯度被分解為彈性和塑性兩部分。文章強(qiáng)調(diào)了在參考構(gòu)型下求解第一類 Piola-Kirchhoff 應(yīng)力平衡的重要性，這確保了在大旋轉(zhuǎn)、大應(yīng)變工況下計(jì)算的物理準(zhǔn)確性。